Bài toán Basel

Tôi đã cảm thấy hơi do dự khi viết về bài toán này… Các bạn có biết vì sao không? Là bởi vì chứng minh của Euler là vô cùng độc đáo và ấn tượng, Điểm kì lạ của chứng minh này là ở chỗ: ban đầu bạn sẽ cảm thấy vô cùng kinh ngạc, sau đó là chìm trong nỗi nghi hoặc đến rộn ràng về một dự cảm chân lý ẩn dấu ở phía bên trong. Tôi dám quả quyết rằng đây là một chứng minh tuyệt đẹp…Tuy nhiên, khác với vẻ đẹp của một bông hoa hay một cô hoa hậu, một định lý toán học hay một chứng minh tuyệt diệu lại ẩn dấu vẻ đẹp kin đáo của nó dưới lớp áo của những kí hiệu hay công thức khô khan. Hơn thế nữa đây lại không hoàn toàn là một bài toán sơ cấp, và có đề cập đến nhiều điểm tinh tế trong suy luận toán học…Rất nhiều lý do để tôi lo sợ rằng sẽ không làm tốt được công việc của mình. Nhưng tôi đã có một quyết định dũng cảm, sẽ cố gắng giải thích một cách rõ ràng nhất có thể. Và mong ước rằng khi lần đầu đọc những dòng giới thiệu này, các bạn cũng sẽ có một trái tim dũng cảm để mạnh dạn lần theo những bước chân phiêu lưu trên con đường táo bạo ngày nào mà Euler đã khai phá…

Năm 1644, Pietro Mengoli đã đưa ra bài toán tính tổng của chuỗi số sau:

\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}...

Yêu cầu ở đây là phải tính chính xác vì nếu chỉ cần gần đúng thì các bạn có thể kéo tổng này ra đủ dài và thực hiện phép tính (tổng càng dài thì càng chính xác). Bài toán này khó đến nỗi mà “nhất đẳng cao thủ” về lĩnh vực này thời bấy giờ là Jacob Bernoulli sau khi đã vận hết 12 thành công lực mà vẫn thất bại đã phải thốt lên: “Tôi đã cố gắng nhiều lắm mà vẫn không tìm ra. Ai tìm được và cho tôi biết thì tôi xin cảm ơn vô cùng”. Lời cầu cứu của Jacob đã khiến cả thế giới toán học quan tâm đến bài toán này. Người em trai của ông: Johann Bernoulli đã giới thiệu nó cho người học trò của mình – Leonard Euler lúc đó 23 tuổi và thế là câu chuyện bắt đầu.

Trước khi lên đường theo chân Euler chúng ta hãy cùng chuẩn bị một số hành trang cần thiết đã nhé. Các bạn đang học phổ thông chắc chưa làm quen với việc tính tổng của chuỗi (tổng vô hạn) nên chúng ta sẽ khởi đầu với một ví dụ đơn giản:

Tính tổng của chuỗi: S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{n.(n+1)}+...

Vì tổng này có vô số số hạng nên ta sẽ tính tổng của n số hạng đầu tiên trước (mà ta gọi là tổng riêng thứ n):

S_{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}

Sau đó ta cho n tiến dần đến vô cùng và ta được: S=lim_{n \to \infty }S_{n}=lim_{n \to \infty }(1-\frac{1}{n+1})=1
Như vậy tổng của chuỗi này là 1! (Điều thú vị của những chuỗi này là mặc dù tổng của vô hạn các số hạng nhưng kết quả lại là một số hữu hạn – những chuỗi như vậy gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kì).

Bây giờ ta quay trở lại chuỗi số của mình, ta có đánh giá sau:

1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^{2}}+...=1+(\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+...+\frac{1}{n.n}+...)<1+(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}+...)=1+1=2

Nhờ đánh giá này mà ít nhất ta cũng biết rằng chuỗi của chúng ta hội tụ và tổng của nó nhỏ hơn 2. Nhưng chính xác là bao nhiêu? Không giống như trường hợp ở trên, chuỗi này rất khó để tính được tổng riêng nên phương pháp chúng ta đã dùng cho chuỗi thứ nhất gặp phải trở ngại.

Chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả cần thiết trong đại số để hiểu được cách làm của Euler. Trước hết, chắc các bạn còn nhớ những ngày còn học lớp 8 chúng ta hay có một cách làm “ma giáo” để phân tích một đa thức thành nhân tử. Cụ thể, nếu cho ta một đa thức nào đó, ví dụ như: P(x)=2x^{2}-10x+12. Chúng ta chẳng bận tâm nhiều đến các kĩ thuật tách hạng tử ra rồi nhóm lại để tìm nhân tử chung mà trong lớp vẫn dạy… Các bạn chỉ cần lấy máy tính bấm nghiệm: Ok! Máy tính tìm được 2 nghiệm là 2 và 3 và chúng ta thì sẽ có được phân tích của P(x) thành nhân tử như sau: P(x)=2.(x-2)(x-3) . Sai lầm phổ biến của các bạn là hay quên nhân hệ số của x^{2} phía trước (ở đây là phải nhân thêm 2). Cách phân tích thành nhân tử này thực chất là dựa trên kết quả của một định lý sau trong đại số:

Nếu đa thức P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...a_{1}x+a_{0} có n nghiệm: x_{1};x_{2};...;x_{n} thì ta có:
P(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}).(*)

Ngoài cách biểu diễn này còn có một cách biểu diễn nữa trong trường hợp tất cả các nghiệm đều khác 0, cách phân tích này mặc dù ít thông dụng hơn nhưng trong hoàn cảnh của chúng ta sắp tới thì lại cần thiết, đó là:

P(x)=a_{0}(1-\frac{x}{x_{1}})(1-\frac{x}{x_{2}})...(1-\frac{x}{x_{n}}) (**)

Nhiều bạn có lẽ sẽ đòi hỏi một lời giải thích cho cách phân tích thứ 2 nên tôi sẽ dừng lại một chút để chỉ ra biểu thức bên phải của (*) và (**) là bằng nhau. Thật vậy:

a_{0}(1-\frac{x}{x_{1}})(1-\frac{x}{x_{2}})...(1-\frac{x}{x_{n}})=a_{0}\frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}}(x_{1}-x)(x_{2}-x)...(x_{n}-x)=(-1)^{n}a_{0}\frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}}(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})=(-1)^{2n}a_{0}.\frac{a_{n}}{a_{0}}(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})

Với lưu ý rằng theo định lý viet thì tích của các nghiệm: x_{1}x_{2}...x_{n}=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}

Quay lại với bài toán của chúng ta, chính vì tất cả các kĩ thuật truyền thống đều không đưa đến kết quả nào nên Euler đã đi tìm cho mình một hướng đi mới mẻ hơn. Nhưng có lẽ chính ông cũng không thể ngờ là phương pháp mình đưa ra lại độc đáo và táo bạo như vậy. Euler xét phương trình vô cùng quen thuộc sau: sinx=0

Nhưng ở đây, ông sử dụng khai triển của hàm sinx thành chuỗi lũy thừa:

sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...

Khai triển này là rất thân quen với những ai đã học đại học năm thứ nhất học phần giải tích 1, còn đối với các bạn học sinh tôi sẽ minh họa khai triển này bằng đồ thị để ít ra các bạn sẽ có thêm phần tin tưởng. Muốn vậy tôi sẽ vẽ đồ thị của tổng bên phải với lần lượt 4 rồi 5 số hạng:

Các bạn có thể thấy là khi tăng thêm số hạng cho tổng bên phải, đồ thị của nó càng ngày càng trùng khít với đồ thị của hàm sinx… Với khai triển này phương trình sinx=0 trở thành:

x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...=0  (1)

Như đã biết phương trình sinx =0 có các nghiệm sau:  x=k\pi (k\in Z) cụ thể là:

0;\pi ;-\pi ;2\pi ;-2\pi ;3\pi ;-3\pi ;...

Euler bỏ nghiệm 0 đi bằng cách chia 2 vế của (1) cho x (thừa số ứng với nghiệm 0) và được phương trình:

1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+...=0  có các nghiệm còn lại: \pi ;-\pi ;2\pi ;-2\pi ;3\pi ;-3\pi ;...

Đa thức của chúng ta ở đây có bậc vô hạn nên không có gì quá ngạc nhiên khi nó lại cũng có vô hạn nghiệm. Theo như khai triển (**) ở trên ta sẽ có:

P(x)=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+...=1(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })...=(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2} })(1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2} })(1-\frac{x^{2}}{9\pi^{2} })...                                                                              (2)

Đến đây các bạn đã hiểu được tại sao chúng ta phải sử dụng khai triển trong (**) chưa? Bởi lẽ muốn khai triển theo (*) thì chúng ta phải biết a_{n}., là hệ số của số hạng bậc cao nhất mà đa thức của chúng ta thì lại là bậc vô hạn…Bây giờ ta sẽ khai triển tích vô hạn đã xuất hiện trong (2): (1-\frac{x^{2}}{\pi^{2} })(1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2} })(1-\frac{x^{2}}{9\pi^{2} }).... Với những tích như vậy trong trường hợp hữu hạn ta đã có khá nhiều kinh nghiệm, chẳng hạn:

(1-ax)(1-bx)(1-cx)=1-(a+b+c)x+... thế nên:

(1-\frac{x^{2}}{\pi ^{2}})(1-\frac{x^{2}}{4\pi ^{2}})(1-\frac{x^{2}}{9\pi ^{2}})...=1-(\frac{1}{\pi ^{2}}+\frac{1}{4\pi ^{2}}+\frac{1}{9\pi ^{2}}+...)x^{2}+...

Thay vào (2) ta có đồng nhất thức:

1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+...=1-(\frac{1}{\pi ^{2}}+\frac{1}{4\pi ^{2}}+\frac{1}{9\pi ^{2}}+...)x^{2}+...

Đồng nhất hệ số của x^{2} hai vế ta có:

-\frac{1}{3!}=-(\frac{1}{\pi ^{2}}+\frac{1}{4\pi ^{2}}+\frac{1}{9\pi ^{2}}+...)\Rightarrow 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...=\frac{\pi ^{2}}{6}

Euler đã đi đến kết quả này bằng một cách thức táo bạo và kì lạ nhất: Ông đã áp dụng những điều vốn được biết chỉ đúng cho trường hợp hữu hạn (định lý khai triển cho đa thức bậc hữu hạn có n nghiệm đã biết, khai triển của tích hữu hạn các nhân tử, đồng nhất hạng tử cùng bậc…) cho trường hợp vô hạn mà chẳng có lấy một bằng chứng nào đảm bảo. Thật vậy, đến thời đó người ta đã biết quá nhiều sự kiện mà không thể mở rộng từ hữu hạn thành vô hạn được. Tổng vô hạn có rất nhiều tính chất kì lạ mà ta không thể dự đoán được…Nhưng kết quả mà Euler tìm ra:

\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...=\frac{\pi ^{2}}{6}
là hoàn toàn chính xác bởi nó phù hợp đến tuyệt vời với những kết quả gần đúng mà người ta đã tính toán trước đó. Chúng ta chẳng ngạc nhiên gì khi thái độ của tất cả các nhà toán học lúc đó khá giống nhau: Sau những giây phút khâm phục và kinh ngạc đầu tiên, họ đã kịp thời trấn tĩnh lại và đưa ra những ý kiến phản đối về sự thiếu vững chắc trong lập luận của Euler. Để đáp lại những phản đối này, Euler tiếp tục sử dụng phương pháp kì lạ thiếu vững chắc của mình để tính tổng hàng loạt các chuỗi số khác mà vào thời điểm ấy vẫn đang là thách thức. Chúng ta sẽ điểm qua một vài kết quả mà Euler đã tìm được:

\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{4}}=\frac{\pi ^{4}}{90}
\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{6}}=\frac{\pi ^{6}}{945}

Đến năm 1744 ông thậm chí còn tính được:

\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{26}}=\frac{2^{24}76977927\pi ^{26}}{27!}
Phương pháp này cũng thành công đối với một chuỗi số nổi tiếng mà Leibniz đã tính được trước đó:

1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-...=\frac{\pi }{4}

Euler nói rằng: “Ở đây phương pháp của chúng ta – một phương pháp hình như chưa đủ vững chắc- đã được xác nhận một cách hùng hồn. Vì vậy nói chung không nên nghi ngờ những kết quả khác thu được từ phương pháp này”. Nói là nói vậy chứ về phần mình thì Euler vẫn tiếp tục …nghi ngờ.

Gần 10 năm sau phát minh đầu tiên của mình, Euler đã trở lại vấn đề đó, trả lời những ý kiến phản đối, hoàn thiện phương pháp của mình và đề ra cả những phương pháp mới hoàn toàn khác.

Các bạn có để ý một điều là phương pháp của Euler chỉ tìm được tổng của những chuỗi dạng \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{s}} chỉ với s là số chẵn. Điều gì chờ đợi chúng ta khi tìm tổng của chuỗi trong trường hợp s là số lẻ. Câu trả lời: “Chúng ta không biết!”. Chẳng hạn như \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{3}} đến giờ vẫn là ẩn số. Từ những mối quan tâm này Riemann đã đưa ra định nghĩa:

\zeta (s):=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{s}} với tên gọi là hàm Riemann Zeta. Hàm số này (khi xét trên biến phức) có liên quan đến một giả thuyết vô cùng nổi tiếng của Riemann mà Hilbert đã xếp nó vào 23 bài toán của thiên niên kỉ dành cho các nhà Toán học, và hiện này vẫn chưa có ai giải quyết được.

Quả thật là có rất nhiều điều vĩ đại ẩn dấu sau một phát minh táo bạo. Về phương diện logic chặt chẽ thì rõ ràng phương pháp của Euler đã phạm sai lầm. Cái điểm tựa mà Euler đã dựa vào đó chính là sự tương tự: giữa những kết quả trong trường hợp hữu hạn và vô hạn. Nhưng sự tương tự này có rất nhiều cạm bẫy, Euler đã tránh những cạm bẫy đó như thế nào? Các bạn sẽ nói rằng vì Euler là thiên tài, tôi thì rất tán thành với điều đó nhưng tôi còn muốn bổ sung thêm một điều: Euler đã dùng chính những phù hợp trong kết quả của phương pháp mới thiếu vững chắc để củng cố ngày càng chắc chắn hơn niềm tin dành cho phương pháp ấy.  Một phương pháp sai lầm lẽ nào lại luôn đưa đến kết quả đúng đắn? Điều Euler đã làm được là đưa ra một phương pháp táo bạo và làm cho nó ngày càng trở nên có lý, sau đó thì sẽ có rất nhiều việc lý thú cho tât cả mọi người tham gia…

Advertisements

7 thoughts on “Bài toán Basel

  1. mong muon website nay duoc pho bien rong rai den moi nguoi, dac biet la cac em hos sinh va sinh vien. Rat huu ich, dac biet la no qua trinh phat minh ra cac dinh ly, cong thuc… va ung dung cu the trong thuc te

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s