Đôi mắt hay tầm nhìn của người Thầy giáo

 Cách chúng ta nhìn nhận cùng một sự vật hiện tượng không hề giống nhau. Cho phép tôi mạo muội nói theo một phong cách đầy tính triết học thì: các sự vật khách quan được phản ánh trong mỗi cá nhân đã bị cải biến tùy theo “lăng kính chủ quan” của mỗi con người. Cái lăng kính chủ quan ấy (tâm lý, tình cảm, nguyện vọng, kinh nghiệm, tri thức, nhu cầu, v.v…) đã làm cái nhìn của chúng ta về sự vật hiện tượng trở nên rất riêng, phong phú và độc đáo.

Tôi biết có rất nhiều bạn yêu động vật, như những chú chó chẳng hạn. Cách mà các bạn ấy ngắm những chú chó thật là đáng ngưỡng mộ (ngập tràn yêu thương). Và tôi cũng biết có những bạn mang trong mình kỉ niệm thương đau (chúng ta đang bàn về những chú chó “đáng yêu” và các bạn chắc là thừa hiểu tôi muốn nói đến những kỉ niệm gì). Thật tiếc là trong số ấy lại có mặt tôi… Một lần phải qua nhà một người lạ để tìm ba của mình, tôi đã bị một chú cún xin mất miếng da. Quá sợ hãi và không dám nói với ai, tôi đã có những tháng ngày sống trong sợ hãi… Đối với tôi ngày ấy bị chó cắn cứ như trong mấy bộ phim zombie bây giờ vậy, bạn có thể mắc bệnh dại. Mỗi ngày tôi đều cầu trời khấn phật cho chú chó đó được khỏe mạnh, cứ chiều đến khi đi học về tôi lại lặn lội đến thăm nó. Tôi núp ở đằng xa và chỉ mong được nhìn thấy nó (để biết nó không bị sao) và mỗi khi thấy nó khỏe mạnh tôi lại vui sướng biết dường nào. Các bạn thấy tôi cũng thật là thương yêu động vật nhỉ :))! Những kỉ niệm thương đau ấy làm chúng tôi nhìn những chú cho lạ mặt với ánh mắt đầy lo sợ và không mấy thiện cảm.

Có một điều rất thú vị là không nhất thiết phải có những kỉ niệm đó người ta cũng có khi nhìn mấy chú cún theo cách như vậy. Một dạo nọ nhà tôi nuôi một con chó cỏ. Đặc điểm của con chó nhà tôi là nó rất giống với Đường Tam Tạng, ở chỗ: Đặc biệt hiền lành! Những lần hiếm hoi mà nó dám sủa là khi thấy người nhà đi làm về. (Có thể là nó vui mừng thở phào nhẹ nhõm vì không còn phải ở nhà một mình). Tôi bèn làm một tấm biển với nhan đề: “Nhà có chó dữ” rồi đem treo trước cổng. Không biết các bạn có tin không chứ khách khứa đến chơi nhìn nó với ánh mắt lo sợ đầy cảnh giác! Buồn cười nhất là sau đó chú cún nhà tôi trở nên mạnh dạn hẳn ra và càng ngày càng không ngán đứa nào.:))

Hì! Đến lúc tôi phải quay lại với đề tài của mình rồi. Có lẽ rằng, khi ngắm nhìn một thác nước hùng vĩ, một nhà vật lý có thể thấy trong đó có biết bao hạt cơ bản đang nhảy múa, những lực không ngừng tương tác và những định luật vật lý đang vận hành một cách cuồng nhiệt để hòa điệu tạo nên một khung cảnh thiên nhiên như vậy. Trái lại một người bình thường có lẽ chỉ thấy một thác nước và có khi họ đang nghĩ thầm:”Khiếp thật! Nước chảy xiết quá, không khéo té xuống có mà toi chứ chẳng chơi”.

Cũng thế, khi nhìn thấy một quyển sách toán cao cấp, một nhà Toán học dường như trông thấy một người bạn cũ, một kỉ niệm trong những tháng ngày còn ở trường đại học. Còn một người khác, (bất cứ ai miễn là chẳng ưa gì môn toán) sẽ như nhìn thấy kẻ thù. Một thứ gì đó rất đáng chán, vô vị và thậm chí là đầy thù địch.

Và cuối cùng, tôi rất muốn biết rằng khi cùng nhìn một định lý hay một bài toán: Người Thầy sẽ nhìn thấy gì và các em học sinh sẽ nhìn thấy gì? Bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau tìm kiếm câu trả lời. Suỵt! Hình như tôi đã nghe thấy câu trả lời từ các bạn: “Thì ông Thầy thấy dễ còn đứa học trò ổng thấy khó chứ sao nữa”. Có lẽ bạn nói không sai nhưng tôi thì vẫn cứ tiếp tục công việc của mình…

Những bạn ghé vào đây thăm quan có lẽ cũng ít nhiều có quan tâm đến toán học, tôi có một món quà muốn gửi đến các bạn: Một bài toán đẹp (và rất nổi tiếng) trong chương trình hình học lớp 9: Bài toán con bướm! Các bạn hãy click vào hình bên dưới để có thể cùng tôi chiêm ngưỡng tác phẩm này và hiểu được chứng minh đầy đủ của nó:

download (Các bạn muốn download thì hãy nhấn chuột phải vào chữ download và chọn save target at…)

Kết quả bài toán rõ ràng là rất đẹp và hình vẽ thì đầy…gợi cảm. Người Thầy giáo có thể nhìn thấy điều gì khác hơn so với cách nhìn nhận của học sinh về định lý này? Tôi muốn đề cập đến ở đây một người Thầy giáo đúng nghĩa: Anh ta (xin phép gọi như thế cho trẻ trung) có thể nhìn thấy nhiều hơn thế… Các bạn đã biết về phép chiếu song song chứ? Nếu xem ánh sáng mặt trời là các tia song song chiếu xuống trái đất thì ảnh của bạn qua phép chiếu song song đó chính là cái bóng của bạn. Ảnh của một hình tròn có thể không còn tròn nữa nếu bạn chiếu nghiêng đi một chút. Ảnh đó bây giờ sẽ là một hình elip. Một điều đặc biệt là trung điểm của một đoạn thẳng bất kì qua phép chiếu song song vẫn biến thành trung điểm của ảnh đoạn thẳng ấy (nói đơn giản thì trung điểm vẫn biến thành trung điểm)

Bây giờ chúng ta hãy lấy toàn bộ hình vẽ của bài toán con bướm và chiếu nó xuống một mặt phẳng nào đó bằng phép chiếu song song. (chiếu nghiêng một chút nhé). Các bạn có được điều gì? Đường tròn đã biến thành elip và điểm C thì vẫn là trung điểm của đoạn MN.

Hóa ra kết quả bài toán trên vẫn hoàn toàn đúng nếu ta thay giả thiết đường tròn bằng đường elip và giữ nguyên tất cả các chi tiết khác. Giả thiết đường tròn thật ra là không cần thiết (bởi vì đường tròn là một elip quá đặc biệt) nhưng quả thật tôi không biết bài toán này trong trường hợp là đường elip thì chứng minh thế nào. Điều này cũng thật là kì quái: chúng ta đem cái kết quả của bài toán “chiếu” lên một mặt phẳng khác và rồi “a lê hấp” ta được một kết quả mới (một bài toán khác) thậm chí còn tổng quát hơn.

Nhưng điều bất ngờ còn chưa dừng ở đó. Nếu tôi nói là kết quả bài toán vẫn đúng nếu các bạn thay đường tròn bằng đường…Hypebol hay Parabol thì các bạn còn đủ niềm tin chăng? Thôi thì vì chứng minh không được nên tôi vẽ hình để đem một phần cái niềm tin ấy trở lại với các bạn: Đầu tiên là với đường Hypebol ( chú ý lúc này để xác định M, N thì phải kéo dài đường AB ra một chút):

Tiếp đến là với hình Parabol:

C vẫn là trung điểm của đoạn MN (bạn có thể kiểm tra lại bằng thước kẻ, riêng tôi vì vẽ hình bằng phần mềm nên tôi đã có cách để củng cố niềm tin của mình). Hóa ra kết quả bài toán trên không phải đơn giản. Cái thâm sâu ảo diệu là ở chỗ, nó chỉ là một trường hợp riêng (tầm thường hóa) của một kết quả tổng quát hơn nhiều. Tôi không muốn phải che dấu lâu hơn nữa, xin giới thiệu với các bạn đây thật ra là một tính chất tổng quát trong một hình học còn tổng quát hơn hình học Euclid mà các bạn biết rất nhiều: Hình học Afin. Hình học này chỉ nghiên cứu những tính chất bất biến (nghĩa là không thay đổi) qua các phép biến đổi afin. Các bạn đừng sợ, chẳng hạn như phép chiếu song song mà ta vừa đề cập là một phép biến đổi afin, và kết quả bài toán này rõ ràng là không thay đổi khi các bạn thực hiện bất kì một phép chiếu song song nào như vậy. Vì thế nên đây là một tính chất afin.

Cần phải nói thêm rằng vì phép chiếu song song biến một đường tròn tùy theo hướng chiếu có thể trở thành elip, hypebol hay parabol (gọi chung là đường conic) nên kết quả bài toán trên sẽ vẫn còn đúng trong các trường hợp tương ứng như chúng ta đã khảo sát. Các bạn thấy đó, một tính chất trong hình học afin khi các bạn “nhìn” xuống hình học sơ cấp sẽ được rất nhiều kết quả khác nhau tùy theo hướng nhìn ấy (ở trên mỗi hướng nhìn là một hướng chiếu). Nó giống như tình huống này: Một quả mít treo lơ lửng trên cây (trong không gian 3 chiều), tùy theo hướng mặt trời chiếu sẽ cho những chiếc bóng với hình thù khác nhau trên mặt đất. Trong không gian thì quả mít chỉ có một, còn trên mặt đất (không gian 2 chiều) thì những chú kiến lại thấy rất nhiều hình thù mà chúng thì cứ nghĩ đó là những vật khác nhau.

Một người Thầy dạy Toán đúng nghĩa phải có đôi mắt nhìn thấy quả mít mà không phải chỉ là nhìn thấy bóng của chúng trên mặt đất. Đôi mắt của anh ta không chỉ nhìn thấy cây mà còn phải thấy rừng. Đôi mắt ấy phải như của đại bàng giang rộng đôi cánh từ trên không trung phóng xuống mặt đất dù chỉ là để dẫn lỗi một con đường đơn giản cụ thể. Tại sao phải như thế? Bởi mỗi học sinh là một đôi mắt khác nhau, với từng đôi mắt ấy chúng ta phải tìm ra hướng chiếu riêng thích hợp để các em có cái nhìn phù hợp với khả năng của mình và để các em có sự tiến bộ tối ưu nhất. Muốn vậy người Thầy không phải chỉ cần đôi mắt, họ còn phải có tầm nhìn nữa…

Tôi viết bài này để gửi tặng đến tất cả các sinh viên Sư phạm Toán đang từng ngày từng giờ đánh vật với những môn toán cao cấp trong suốt những năm tháng còn ngồi trên ghế giảng đường. Những môn như: Hình học afin, hình học xạ ảnh, hàm biến phức, lý thuyết mở rộng trường… có thể làm bất cứ ai sợ hãi. Có khá nhiều bạn băn khoăn mãi một câu hỏi, tại sao tôi phải học những thứ cao siêu này chỉ để đi dạy toán phổ thông. Những điều bạn học có thể rất tổng quát, rất trừu tượng, có thể bạn không ứng dụng được gì… Và có lẽ chẳng thể giải thích được mọi chuyện chỉ với một bài viết phiến diện như thế này. Nhưng vẫn mong rằng các bạn hiểu một điều:“Để làm Thầy của người khác về bất cứ lĩnh vực nào, bạn không chỉ cần biết về những thứ bạn sẽ dạy…Bạn cần phải có tầm nhìn nữa!

Advertisements

12 thoughts on “Đôi mắt hay tầm nhìn của người Thầy giáo

  1. Để củng cố thêm niềm tin sắt đá vào những bài viết quá lãng mạn và có lý như trên.
    Mạn phép xin hỏi thầy năm nay đã bao nhiêu tuổi rồi ạ?

  2. Chào bạn,
    Tình cờ mình được biết website của bạn. Mình cũng từng là học sinh chuyện Toán, sinh năm 1985. Hiện giờ mình đang làm Kĩ sư nên cũng còn cần dùng nhiều đến Toán.

    Mình cũng có nhiều bạn bè trưoc kia cũng đoạt giải quốc tế môn Toán. Nhưng có một câu hỏi là cho đến tận bây giờ, mình không có lời giải:

    Hình học phẳng có ứng dụng trong ngành gì? Các bài Toán chuyên cấp 3 hình học phẳng đến từ đâu? Ai nghĩ ra?

    Bạn bè mình không ai trả lời đc câu hỏi này. Nếu là giải tích, đại số thì có thể giải thích là các nhà nghiên cứu khi làm nghiên cứu đã đưa những câu hỏi và kết quả trung gian trong quá trình làm việc xuống bậc đại học hay cấp 3 trường chuyên. Nhưng còn hình học phẳng? Ngành kiến trúc mình cũng không nghĩ dùng những kết quả này. Có lẽ đây là ngành duy nhất trong Toán học không có ứng dụng trong thực tế.

    Thân.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s