Số vô tỷ

Xin chia sẻ với các bạn một sự việc từng xảy ra với tôi: Trong khi đọc một tài liệu về Toán phổ thông tôi gặp một bài toán như sau:

Kiểm tra xem số sau đây có phải số hữu tỉ hay không: 0,12345678910111213… Nói chung là phần thập phân của nó là các số tự nhiên liên tiếp lần lượt xếp hàng. Phải thú nhận rằng (với đôi chút xấu hổ) là ngay lúc ấy tôi cảm thấy hơi bối rối và chẳng biết trả lời thế nào. Dù rằng sau đó tôi cũng đã tìm ra câu trả lời nhưng điều làm tôi quan tâm là tại sao vào thời điểm đó tôi lại cảm thấy băn khoăn như vậy?

Các bạn thử suy nghĩ một chút nhé, để thêm phần phong phú có lẽ tôi sẽ cho thêm một ví dụ kiểu như vậy nữa, chẳng hạn như số: 0.01001000100001… Số này liệu có phải là số hữu tỉ hay không?

Những bạn mà cũng gặp bối rối giống như tôi có lẽ là bởi vì chúng ta đã phải hứng chịu một ám ảnh về số vô tỉ: đó là phần thập phân của nó là dài vô hạn và xuất hiện một cách loạn xạ chẳng thể dự đoán được. Chẳng hạn như số  \pi :3,1415926535 8979323846 2643383279....

Thế nên khi gặp phải trường hợp những số thập phân dài vô hạn nhưng lại có quy luật như trên chúng ta lại thấy bối rối. Nhưng rồi giấy phút băn khoăn ấy sẽ trôi qua rất nhanh khi chúng ta chợt nghĩ đến đặc điểm của những số hữu tỉ và vô tỉ khi biểu diễn dưới dạng thập phân: ” Số hữu tỉ luôn có phần thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, trong khi số vô tỉ luôn có phần thập phân vô hạn và không tuần hoàn.” Vậy đấy, cái quan trong ở đây là phần thập phân của nó có tuần hoàn hay không chứ không phải ở chỗ có quy luật hay không. Vì vậy câu trả lời cho những câu hỏi ở trên là: 2 số đó đương nhiên là số vô tỷ bởi phần thập phân của nó không tuần hoàn (tức là phần thập phân không lặp lại). Nhưng đó chỉ là những gì sách giáo khoa nói với chúng ta, có bao giờ bạn tự hỏi rằng: tại sao một số có phần thập phân vô hạn nhưng tuần hoàn lại chắc chắn là một số hữu tỉ hay không? Bài viết cũng sẽ trả lời câu hỏi này.

Tuy vậy trước tiên chúng ta tìm hiểu chút ít về hoàn cảnh ra đời của số vô tỉ…

Nếu bạn rất yêu quý gia đình mình, và rồi một nhân vật lạ mặt xuất hiện (không phải là thành viên nào trong gia đình). Vậy mà hắn ta lại đóng một vai trò quan trọng giống như bạn, được hưởng những quyền lợi,  và hơn thế nó muốn “nhăm nhe” trở thành một thành viên chính trong gia đình… Tất nhiên là bạn sẽ ghét cay ghét đắng và không hề muốn thừa nhận hắn ta…(Chắc là tôi bị nhiễm mấy bộ phim “Việt Nam” mất rồi : các bạn có để ý là khi người cha mang về một đứa con riêng thì điều gì sẽ diễn ra sau đó không?). Điều khó chịu này cũng chính xác là những gì mà Pythago và các môn đồ của ông đã gặp phải. Các bạn có biết là Pythago và các môn đệ của ông say mê các con số như thế nào, sự say mê này gần như trở thành sùng bái. Với họ các con số không đơn giản chỉ là để đong đếm hay đo đạc, nó thậm chí còn là một tín ngưỡng. Trường phái của Pythagoras cho rằng :

Số 1 biểu thị lẽ phải,
Số lẻ là số nam, số chẵn là số nữ,
Số 5 biểu thị hạnh phúc gia đình vì là tổng của số nam và số nữ đầu tiên (5=3+2),
Số 7 biểu thị sức khoẻ,
Số 13 được coi là điềm xấu…

Cơn ác mộng xảy ra khi Pythago tìm ra một đoạn thẳng đặc biệt: Đó là cạnh huyền của tam giác vuông mà 2 cạnh góc vuông đều bằng 1.

Nếu ta gọi số đo của cạnh huyền này là x thì theo định lý Pythago ta có: ( Nói thêm sở dĩ Pythgo là nguời đầu tiên phát hiện ra chuyện này đơn giản là vì ông ta cũng là chủ sở hữu của định lý đã mang tên ông: định lý Pythago)

x^{2}=1^{2}+1^{2}=2  Hay x=\sqrt{2}

Điều đáng sợ đối với Pythgo là mặc dù số  \sqrt{2} này là số đo một đoạn thẳng cụ thể nhưng nó lại không phải là bất kì một số hữu tỉ nào…Việc khám phá ra tính vô tỉ của số đã gây kinh hoàng trong hàng ngũ các môn sinh của Pythago bởi nó không những phá vỡ niềm tin vào tính đầy đủ của các số hửu tỉ  mà còn làm cho nhiều lý thuyết tổng quát của họ trở nên không còn giá trị (trên tất cả là niềm tin bị sụp đổ). Chính vì thế mà mọi môn đồ của Pythago  phải lập lời tuyên thệ giữ kín bí mật này, bên cạnh đó hình phạt dành cho kẻ vi phạm là rất khủng khiếp. Hippasus, một thành viên trong hội đã để lộ bí mật này ra ngoài và lưu truyền rằng anh ta đã bị dìm chết ngoài biển.

Để lại câu chuyện thương tâm đó qua một bên, bây giờ chúng ta sẽ cùng tìm hiểu tại sao  \sqrt{2} không phải là số hữu tỉ.

Tôi sẽ trình bày ở đây 2 phép chứng minh, một rất quen thuộc (xuất hiện ở khắp nơi) và một độc đáo hơn mà có thể bạn chưa từng xem qua.

Ta sẽ chỉ ra điều này bằng phản chứng:  giả thiết rằng   \sqrt{2} là số hữu tỉ, suy ra tồn tại 2 số nguyên m,n sao cho: \sqrt{2}=\frac{m}{n}. Ở đây n phải khác không và giả sử rằng phân số \frac{m}{n} đã được rút gọn cho tối giản. Như vậy: (\frac{m}{n})^{2}=2\Rightarrow m^{2}=2n^{2}\Rightarrow m^{2}\vdots 2. Đến đây là một điểm tinh tế: Từ  m^{2}\vdots 2\Rightarrow m\vdots 2. Thật vậy vì nếu m không chia hết cho 2 (là số lẻ) thì m^{2} cũng phải là số lẻ tức là không chia hết cho 2 ! Vậy m chia hết cho 2 nên ta có thể đặt m=2k với k là số nguyên. Do m^{2}=2n^{2}\Rightarrow 4k^{2}=2n^{2}\Rightarrow n^{2}=2k^{2}. Lập luận y hệt như trên ta cũng đi đến kết luận n cũng chia hết cho 2. Tức là phân số \frac{m}{n} vẫn chưa tối giản (vì còn rút gọn được cho 2). Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu! Vậy suy ra \sqrt{2} không phải là số hữu tỉ.

Ngày ấy khi lần đầu đọc chứng minh này tôi cứ thắc mắc tại sao lại có thể giả thiết \frac{m}{n} là tối giản? Không giả thiết như vậy có đuợc không? Bạn thử suy nghĩ xem nào… Thôi thế này nhé, chúng ta cứ bỏ đi cái giả thiết là \frac{m}{n} tối giản, thực hiện các bước như trên là rút ra được kết luận rằng \frac{m}{n} có thể giản ước được cho 2. Vậy thì ta sẽ giản ước nó cho 2 và được số hữu tỉ mới bằng với số hữu tỉ ban đầu. Lập lại chứng minh trên cho số hữu tỉ mới giản ước này ta lại suy ra rằng nó tiếp tục có thể giản ước cho 2 nữa… Bạn đã thấy được điều mâu thuẫn rồi chứ. Một số hữu tỉ không thể cứ giản ước được cho 2 mãi được, vì thế mà dẫn đến điều vô lý.  Chứng minh thế này cũng được, nhưng để lời giải đuợc gọn gàng và sáng sủa hơn thôi thì ta cứ giả thiết \frac{m}{n} là tối giản ngay từ lúc đầu…

Còn bây giờ là lời giải thứ 2, thử thách hơn một chút nhưng sẽ rất thú vị: Chúng ta sẽ xuất phát từ ngay chỗ m^{2}=2n^{2} nhé. Các bạn đã học lớp 6 chắc là biết rằng bất kì số nguyên nào đều có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố chứ? Ta xét sự phân tích m thành tích các thừa số nguyên tố:  Mặc dù trong phân tích này có thể có bao nhiêu thừa số 2 thì không rõ… Nhưng chắc chắn rằng trong phân tích của m^{2} số lượng thừa số 2 sẽ được gấp đôi lên và như vậy chắc chắn sẽ có một số chẵn các thừa số 2 trong phân tích đó. Một ví dụ cụ thể cho đơn giản nhé: Chẳng hạn: 6=2.3 vậy thì 6^{2}=2^{2}.3^{2}. Ở trường hợp này trong phân tích ra thừa số nguyên tố của 6^{2} số 2 xuất hiện 2 lần (tức là một số chẵn lần). Lập luận tương tự thì trong phân tích của n^{2} thừa số 2 cũng sẽ xuất hiện một số chẵn lần, mà nếu thế thì 2n^{2} sẽ xuất hiện một số lẻ lần (vì có thêm thừa số 2 ở phía trước). Từ đây ta thấy ngay m^{2} và 2n^{2} không thể bằng nhau. Suy ra mâu thuẫn…

Giải thích thì dông dài mà hiểu ra thì thấy đơn giản phải không?  Điểm thú vị của cách này là bạn có thể sử dụng cách trên để  chứng minh được rằng tất cả những số có dạng \sqrt{a} với a là số nguyên tố đều là số vô tỉ. Các bạn nghĩ xem có phải vậy không? Thậm chí ngay cả khi a là hợp số (miễn là không phải số chính phương) cách này vẫn có thể dùng được (với một chút điều chỉnh).

Bây giờ ta trở lại với câu hỏi đã được đặt ra ban đầu: Tại sao những số thập phân vô hạn tuần hoàn lại là số hữu tỉ ? Xin chia sẻ một chút với bạn đọc rằng: Tôi viết blog này chủ yếu dành cho những bạn học sinh muốn hỉểu toán ( mà đa phần các bạn ấy có thể không giỏi toán từ trước) vì vậy mà chỉ cốt sao cho đơn giản chứ không phải là chăm lo đến sự chặt chẽ trong từng phép chứng minh. Vì vậy nên để giải đáp cho câu hỏi này tôi sẽ dẫn ra đây một ví dụ cụ thể:

Xét số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0,123123123…

Các bạn để ý thấy không ta luôn có thể biểu diễn: 0,123123123...=\frac{123}{10^{^{3}}}+\frac{123}{10^{6}}+\frac{123}{10^{9}}+...=123(\frac{1}{10^{^{3}}}+\frac{1}{10^{6}}+\frac{1}{10^{9}}+...)

Chính vì là nó tuần hoàn nên ta luôn có thể đưa nó về tổng một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội nhỏ hơn 1 ( trong trường hợp này là \frac{1}{10^{^{3}}}). Nếu bạn đọc đã học qua lớp 11 rồi thì sẽ biết tính tổng vô hạn này (là một số hữu hạn) và bằng :

\frac{1}{10^{3}}+\frac{1}{10^{6}}+\frac{1}{10^{9}}+...=\frac{1}{10^{3}}\frac{1}{1-\frac{1}{10^{3}}}=\frac{1}{999}. Như vậy

0,123123123...=\frac{123}{999}=\frac{41}{333} ( là số hữu tỉ)

* Dành cho những bạn chưa từng học qua tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cách làm sau đây còn đơn giản hơn rất nhiều: Ta đặt:

a=0,123123123...\Rightarrow 1000a=123,123123123...=123+0,123123123...=123+a\Rightarrow 999a=123\Rightarrow a=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}

Không giống như Pythago và các môn đồ của ông, các nhà Toán học khác có cái nhìn bao dung hơn rất nhiều. Khi biết được bí mật trọng đại này về những số không phải là số hữu tỉ, họ đã giang rộng vòng tay đón chào người anh em số vô tỉ này gia nhập vào đại gia đình nhà số. Tập hợp số khi số hữu tỉ và vô tỉ cùng sát cánh bên nhau đã được bổ sung để trở nên đầy đủ và mạnh mẽ hơn rất nhiều mà như ta đã biết đến nó dưới tên gọi ngày nay: Tập hợp số thực.

Advertisements

6 thoughts on “Số vô tỷ

  1. Em xin hỏi 1 chút về cách làm của anh ở gần cuối bài (a=41/333), em có 1 ví dụ như thế này cũng làm theo cách đó : a=0,9999…. =>10a=9+a =>a=1 . Mình có thể giải thích vấn đề này như thế nào anh Đức ?

    • Trong cách viết 0,999… chúng ta đã phải chấp nhận rằng phần thập phân của nó thật sự đã phải tiến dần đến vô cùng. Nói các khác 0,999… thực chất là cách viết hình thức ám chỉ giới hạn của dãy số: 0.9; 0,99; 0,999;… Mà giới hạn của dãy số này chính là 1 (chứng minh điều này bằng tổng cấp số nhân lùi vô hạn như trên). Cho nên bản chất của đẳng thức 0,999…=1 không phải là 2 số bằng nhau mà là giới hạn của dãy số 0,9; 0,99;… là 1. Điều này hoàn toàn đúng đắn và hợp lý. À mà Trần Đức ơi, trong blog của Minh Đức có bài “gậy một đầu” cũng có bàn đôi chút đến vấn đề này đó.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s