Tự nhiên là nhà Toán học

Có anh chàng thiện xạ nổi tiếng với khả năng bách phát bách trúng của mình. Một hôm anh ta đang đi dạo dọc theo bờ sông thì gặp một chú bé đang bắt cá bằng nơm. Anh ta ngỏ ý muốn giúp chú bé và bởi vì anh ta có mang theo súng săn. Nhưng điều làm anh ta kinh ngạc là anh không thể bắn trúng được con cá nào…Các bạn có biết tại sao không? Tôi đoán là các bạn đã biết lý do: “ánh sáng từ con cá đến mắt anh không đi theo đường thẳng, nó bị gãy khúc!”. Nghĩa là thế này, chúng ta nhìn thấy con cá vì có ánh sáng từ con cá đi đến mắt ta. Nếu tia sáng truyền thẳng thì chỉ cần ngắm theo những tia sáng đó thì viên đạn sẽ đến được chỗ con cá. Nhưng nếu vì lý do nào đó tia sáng bị đổi hướng trước khi đến mắt ta, chúng ta sẽ bắn trượt.

Mọi người chắc cũng biết là ánh sáng “thường” đi theo đường thẳng, chắc là tại vì đường thẳng là con đường ngắn nhất giúp nó đến được nơi mà nó muốn. Vậy thì tại sao ở hoàn cảnh này, ánh sáng lại phải đi theo đường gấp khúc. Có lẽ các bạn chưa hiểu ánh sáng rồi: nó không chọn con đường ngắn nhất mà thật ra, nó luôn chọn con đường nhanh nhất! Bạn sẽ nghĩ rằng: “Vậy hả? Tốt thôi! Con đường ngắn nhất là con đường nhanh nhất”. Nếu bạn đã nghĩ như vậy, tôi muốn các bạn tưởng tưởng về tình huống này: Bạn đang chạy xe đạp và gặp một bãi cát, bạn sẽ vẫn quyết định đạp xuyên qua bãi cát (con đường ngắn nhất) hay sẽ đi vòng qua bãi cát (giả thiết bãi cát này hình tròn)? Và con đường nào nhanh hơn?

Đây chính là vấn đề, ánh sáng di chuyển trong nước chậm hơn trong không khí. Nếu ánh sáng vẫn quyết định đi theo đường thẳng nó sẽ phải đi quãng đường dài hơn trong nước và nó không muốn điều này. Tuy nhiên nếu nó đi thẳng đứng lên trên để cho quãng đường trong nước là ngắn nhất thì quãng đường tổng cộng lại trở nên quá dài. Vì vậy nó phải tính toán con đường hợp lý để thời gian đến đích là nhanh nhất. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm ra con đường này:

Giả sử ánh sáng phải đi từ R đến S, và trước đó nó sẽ đến điểm I nào đó trên mặt nước. Gọi vận tốc ánh sáng trong không khí và trong nước lần lượt là v_{1}v_{2}. Chiết suất của 2 môi trường là n_{1}n_{2}. Chúng ta đều biết rằng: \frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}} (vận tốc ánh sáng tỉ lệ nghịch với chiết suất môi trường).

Thời gian ánh sáng đi hết đoạn đường IS là: t_{1}=\frac{SI}{v_{1}}=\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}

Thời gian đi đoạn IR là: t_{2}=\frac{IR}{v_{2}}=\frac{\sqrt{b^{2}+(c-x))^{2}}}{v_{2}}

Thời gian tổng cộng ánh sáng phải đi là: t(x)=t_{1}+t_{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{b^{2}+(c-x)^{2}}}{v_{2}}

Bây giờ chúng ta phải tìm x để hàm số t(x) đạt giá trị nhỏ nhất, trong hoàn cảnh này tôi ước gì các bạn đang đọc bài viết này đều đã học lớp 12, bởi vì chúng ta sẽ dùng đạo hàm để làm công việc đó.

Trước tiên ta tính đạo hàm: t'(x)=\frac{x}{v_{1}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}-\frac{(c-x)}{v_{2}\sqrt{b^{2}+(c-x)^{2}}}

Ta thấy rằng: sini=\frac{x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}sinr=\frac{c-x}{\sqrt{b^{2}+(c-x)^{2}}}. Thay vào biểu thức của t'(x) ta được: t'(x)=\frac{sini}{v_{1}}-\frac{sinr}{v_{2}}

Các bạn đã học 12 chắc sẽ biết được rằng: Trong trường hợp hàm số này cực tiểu của nó chính là giá trị bé nhất, cũng có nghĩa rằng: hàm số sẽ đạt giá trị bé nhất khi t'(x)=0. Suy ra:\frac{sini}{v_{1}}=\frac{sinr}{v_{2}}\Leftrightarrow \frac{sini}{sinr}=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}} Và tất nhiên ta cũng có: \frac{sini}{v_{1}}=\frac{sinr}{v_{2}}

Chắc các bạn đã nhận ra: đây chính là định luật khúc xạ ánh sáng mà Vật lý đã tìm ra. Điều thú vị tôi muốn nhấn mạnh là: Vật lý tìm ra định luật này hoàn toàn chỉ bằng thực nghiệm còn ở đây, Toán học chứng minh rằng con đường này của ánh sáng là con đường ngắn nhất.

Nhưng không lẽ tự nhiên (ở đây là ánh sáng) có thể tính toán hết tất cả mọi chuyện như chúng ta vừa làm để chọn đúng con đường nhanh nhất? Chúng ta không biết. Nhưng sự thực nó đã luôn đi theo con đường nhanh nhất đó. Các bạn có thể sẽ cảm thấy hơi bối rối nhưng hãy để tôi nói với các bạn điều này:

 “ Tự nhiên chính là một nhà Toán học!”

Advertisements

2 thoughts on “Tự nhiên là nhà Toán học

  1. Một điều thật thú vị trong vô vàn điều thú vị toán học tương tác với vật lý!!. Thật tiếc là tìm hiểu và đọc được những điều này có lẽ là muộn. Không còn trọn vẹn tình yêu và say mê cho nó. Cảm ơn tác giả – thầy.

  2. Mình là một người không tích toán và tự cảm thấy không có năng khiếu về toán. Nhưng sau khi biết và đọc những bài viết của tác giả trên trang blog này, mình mới nhận ra là toán học hóa ra cũng tươi đẹp đến vậy. Cảm ơn tác giả! Nhưng thật đáng tiếc là tác giả lại dừng viết từ khá lâu rồi (từ năm 2014 đã không còn viết bài nữa), đó quả là một thiệt thòi cho các độc giả.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s