Gậy một đầu.

Tôi là một người rất hâm mộ côn pháp của phái Thiếu Lâm, nói cho dễ hiểu thì đó là “võ gậy”. Một cây gậy (côn) thì luôn có 2 đầu và bạn có thể tấn công đối phương bằng cả 2 đầu này. Nếu chẳng may, kẻ địch dùng kiếm chém mất một khúc nhỏ thì cây côn mới bạn cầm trên tay vẫn sẽ có 2 đầu chỉ có điều là nó sẽ ngắn hơn một chút. Vậy lẽ nào nó lại chỉ có một đầu? Điều này ắt hẳn chỉ xuất hiện trong thế giới toán học…

Nhớ lại ngày còn đi học tiểu học điều làm tôi chẳng ưa gì là phải đứng xếp hàng. Có lẽ là vì tôi thuộc loại cao nhất lớp ( theo tiêu chuẩn của Napoleon!) nên luôn được xếp đầu hàng. Nếu vì một lý do nào đấy cô giáo gọi tôi đi nơi khác, bạn đứng ngay sau tôi sẽ thay thế tôi dẫn đầu hàng (làm kẻ lùn nhất!). Cuộc sống là vậy, khi bạn không làm kẻ dẫn đầu luôn luôn có người thay thế bạn.

Nào giờ ghé thăm thế giới toán học một chút nhé! Bạn có một đoạn thẳng AB (một cây gậy), bây giờ chẳng hạn bạn lấy điểm A đi. Vậy điểm nào nằm ngay sau điểm A sẽ thay thế nó làm đầu mới của đoạn thẳng này bây giờ? Chúng ta không biết “kề sát” ngay sau điểm A sẽ là điểm nào, và có lẽ điểm đó chẳng hề tồn tại. Đoạn thẳng trên chỉ còn một đầu thôi, nếu tưởng tưởng trong thế giới toán học này cây gậy AB chỉ còn một đầu B. Bây giờ khi bạn lấy cây “gậy một đầu” này đâm kẻ địch của bạn ở phia đầu vừa bị mất, điểm nào sẽ chạm vào kẻ đó đầu tiên? Kì ảo, kẻ thù của bạn chẳng hề hấn gì vì không có điểm nào chạm vào hắn ta được. Trở lại vấn đề, điều gì đã xảy ra với khoảng không gian gần điểm A sau khi nó ra đi. Trong toán học, khi bạn lấy biên của một hình đi, bạn để lại một không gian “rộng mở”. Mọi điểm dù có sát biên bao nhiêu đi nữa luôn có xung quanh nó (toán học gọi là lân cận) nhiều điểm còn sát biên hơn ( tức là vẫn còn nằm trong tập ban đầu). Trong thế giới toán học, cụ thể hơn là trong vương quốc Topo những tập có tính chất như vậy được gọi là tập mở.

Nghe cũng dễ hiểu nhỉ, nhưng chắc các bạn không biết khi đi học tôi đã khó chấp nhận điều này như thế nào ! ( Chắc do những ám ảnh của việc xếp hàng thời tiểu học) Thế nên tôi đã có một “phát kiến” bất ngờ đầy táo bạo… Khi xem xét đoạn [0;1] : Tôi cho rằng, khi bạn lấy điểm 1 đi thì điểm nằm ngay sau nó không ai khác chính là: 0,999… ( số thập phân vô hạn tuần hoàn được viết gọn thành: 0,(9) ). Sở dĩ tôi có niềm tin như vậy là vì tôi đã phát hiện ra trong khoảng  (0,(9);1) không có bất kì một số nào khác. Tức là không thể có số nào lớn hơn 0,999… mà lại nhỏ hơn 1 cả !(các bạn kiểm tra thử xem) Vậy nên ngay trước 1 phải là 0,999… rồi. Quá sung sướng với “phát minh” này, tôi đã đem đi khoe khắp lũ bạn và thậm chí được khá nhiều ủng hộ :))

Sau này khi học kĩ hơn về số thực, thầy giáo có giảng rằng: Nếu a khác b thì trong (a;b) luôn có vô hạn số, chẳng hạn nó chứa \frac{a+b}{2}. Nhưng đến đây thì tôi sực nhớ ra một chuyện. Quái lạ! Rõ ràng trong khoảng (0,(9);1) của mình không có số nào kia mà ( tức nó phải là tập rỗng). Vậy nghĩa là 0,999… và 1 không thể khác nhau được. Sau đó tôi đi đến một kết luận bất ngờ nhất (lúc đó điều này thật sự bất ngờ với tôi): 0,999…= 1.

Bạn có thể kiểm tra lại sự kiện này một cách toán học hơn như sau:

0,999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+....

Nếu xét tổng của n số hạng đầu tiên của tổng này thì :

{{S}_{n}}=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+...+\frac{9}{{{10}^{n}}}=\frac{9}{10}\frac{1-{{\left( \frac{9}{10} \right)}^{n}}}{1-\frac{1}{10}}=1-{{\left( \frac{9}{10} \right)}^{n}}

Vì số thập phân vô hạn tuần hoàn nên ở đây n\to \infty lúc đó 1-{{\left( \frac{9}{10} \right)}^{n}}\to 1

Nghĩa là 0,999…=1

Cuối cùng thì cây gậy vẫn chỉ còn một đầu!

Advertisements

2 thoughts on “Gậy một đầu.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s