Thỏ có bao giờ đuổi kịp Rùa không?

Trong một câu chuyện ngụ ngôn nổi tiếng: Thỏ và Rùa chạy thi, bởi vì Thỏ quá tự tin vào khả năng của mình nên chủ quan ham chơi và cuối cùng để Rùa giành thắng lợi. Chắc nhiều bạn cũng biết đến một cuộc thi chạy khác giữa chúng trong Toán học (khác lần trước lần này Thỏ chạy rất nghiêm túc và cố gắng!) : Thỏ và rùa chạy thi, thỏ chấp rùa trước một đoạn… Zenon nói rằng Thỏ không bao giờ có thể đuổi kịp rùa bởi lẽ: Cứ khi nó đuổi đến nơi thì rùa đã đi thêm được một đoạn mới. Khi nó đuổi hết đoạn này thì rùa đã đi thêm được một đoạn nữa, cứ thế… Vì quá trình này xảy ra vô hạn lần nên thỏ chẳng bao giờ đuổi kịp rùa !


Câu chuyện trên được biết đến với cái tên “Nghịch lý Zenon”, Nghịch lý này có nhiều hình thức thể hiện. Sau đây là một biến thể khác của nó:

– Chẳng hạn thỏ phải chạy một đoạn đường 1m từ điểm A đến điểm B. Muốn đến được B nó  phải đi qua trung điểm C của đoạn AB này. Đến C rồi, muốn đến B nó lại phải đi qua trung điểm của đoạn trước mặt nó là đoạn CB. Đến trung điểm mới này nó lại phải đi qua trung điểm của đoạn mới trước mặt… và lại cứ thế chẳng bao giờ kết thúc cái chu trình vô hạn này. Suy ra thỏ không thể chạy hết đoạn đường 1m!

Lần đầu tiên khi đọc được nghịch lý này, trong đầu mình chợt nảy lên suy nghĩ, có lẽ nào toán học đã bất lực trong việc mô tả các hiện tượng tự nhiên. Và như Triết học vẫn nói: ” Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển.” Chúng ta thử xem xét kĩ hơn cái nghịch lý này xem có thể “phát triển” được điều gì mới mẻ không nhé? Hãy nghiên cứu biến thể thứ 2 này: Vì quãng đường AB là 1 nên quãng đường mà thỏ phải lần lượt chạy qua là:

\frac{1}{2};\frac{1}{{{2}^{2}}};\frac{1}{{{2}^{3}}};...;\frac{1}{{{2}^{n}}};...

Thỏ muốn chạy hết đoạn AB thì tổng các quãng đường này phải là 1m. Mặt khác tổng các quãng đường của thỏ ở lần chạy thứ n là :

\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}=\frac{1}{2}\frac{1-\frac{1}{{{2}^{n}}}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{{{2}^{n}}}

Cái nghịch lý của Zenon thể hiện sâu xa là ở chỗ thỏ phải chạy vô hạn lần các nữa đoạn đường liên tiếp. Tức là n phải tiến đến vô hạn. Lại có trong thực tế thì thỏ thật sự sẽ chạy được đến B ( tất nhiên là như thế rồi!) Tức là tổng các quãng đường trên phải là 1. Vậy ta rút ra được một điều là để cho toán học phù hợp với thực tế, chúng ta bắt buộc phải đưa vào toán học khái niệm tổng vô hạn và hơn nữa phải chấp nhận một sự kiện là khi n\xrightarrow{{}}\infty  thì  \frac{1}{{{2}^{n}}}\xrightarrow{{}}0

Và như thế khái niệm giới hạn xuất hiện không thể chối cãi! Mâu thuẫn (thể hiện ở nghịch lý Zenon ) đã được giải quyết, kiến thức toán học phát triển. Toán học đã có thêm công cụ để mô tả thế giới đúng đắn hơn. Sau này khi nhìn lại câu chuyện mà mình đã trải qua này, mới thấy vỡ ra một lẽ: Nhìn đoạn đường thỏ chạy như tổng liên tiếp rời rạc các đoạn đường là kiểu tư duy siêu hình máy móc. Thực sự quá trình vận động (chạy từ A đến B) là liên tục, việc phân tích chia chẽ dễ đưa ta đến cái hố đen của khái niệm vô hạn (mà ở đó tư duy loài người vẫn chưa từng cảm nhận được một cách rành rọt), ở đó chúng ta chỉ thêm hoang mang mà thôi!

Advertisements

One thought on “Thỏ có bao giờ đuổi kịp Rùa không?

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s