Đạo hàm là gì?

Một hôm, có một em học sinh chặn tôi lại và bất chợt hỏi: “Thưa Thầy, rốt cuộc thì đạo hàm là gì ạ?” Tôi cảm thấy hơi lúng túng bèn trả lời em học sinh đó một cách vô thưởng vô phạt: “À, trong tiếng hán thì Đạo có nghĩa là con đường, thế nên đạo hàm là khái niệm ám chỉ con đường vận động và biến đổi của hàm số…“. Về nhà nghĩ lại thì thấy trả lời kiểu đó cũng như không trả lời, vậy nên tôi quyết định viết bài này. Tiếp tục đọc

Bài toán Basel

Tôi đã cảm thấy hơi do dự khi viết về bài toán này… Các bạn có biết vì sao không? Là bởi vì chứng minh của Euler là vô cùng độc đáo và ấn tượng, Điểm kì lạ của chứng minh này là ở chỗ: ban đầu bạn sẽ cảm thấy vô cùng kinh ngạc, sau đó là chìm trong nỗi nghi hoặc đến rộn ràng về một dự cảm chân lý ẩn dấu ở phía bên trong. Tôi dám quả quyết rằng đây là một chứng minh tuyệt đẹp…Tuy nhiên, khác với vẻ đẹp của một bông hoa hay một cô hoa hậu, một định lý toán học hay một chứng minh tuyệt diệu lại ẩn dấu vẻ đẹp kin đáo của nó dưới lớp áo của những kí hiệu hay công thức khô khan. Hơn thế nữa đây lại không hoàn toàn là một bài toán sơ cấp, và có đề cập đến nhiều điểm tinh tế trong suy luận toán học…Rất nhiều lý do để tôi lo sợ rằng sẽ không làm tốt được công việc của mình. Nhưng tôi đã có một quyết định dũng cảm, sẽ cố gắng giải thích một cách rõ ràng nhất có thể. Và mong ước rằng khi lần đầu đọc những dòng giới thiệu này, các bạn cũng sẽ có một trái tim dũng cảm để mạnh dạn lần theo những bước chân phiêu lưu trên con đường táo bạo ngày nào mà Euler đã khai phá… Tiếp tục đọc

Đưa người qua sông…

Đưa người, ta không đưa qua sông
Sao có tiếng sóng ở trong lòng
Bóng chiều không thẳm, không vàng vọt
Sao đầy hoàng hôn trong mắt trong ?

Tiêu đề bài viết và những câu thơ đầu tiên trong bài thơ “Tống biệt hành” của Thâm Tâm thật ra chỉ là một chiêu thức “giương đông kích tây” đánh lạc hướng các bạn mà thôi. Bài viết này muốn giới thiệu với các bạn một trò chơi trí tuệ thú vị. Yêu cầu của trò chơi này nói văn vẻ một chút là: “Đưa người, ta phải đưa hết qua sông…” Chắc sẽ làm mất của các bạn ít nhất là hơn 5 phút để tìm được lời giải đấy. Cùng thử sức chứ? Các bạn click chuột vào hình bên dưới để chơi game nhé. (Chú thích thêm: Game này được mình Việt hóa lại từ phiên bản tiếng Trung Quốc cho các bạn dễ chơi hơn)

Đôi mắt hay tầm nhìn của người Thầy giáo

 Cách chúng ta nhìn nhận cùng một sự vật hiện tượng không hề giống nhau. Cho phép tôi mạo muội nói theo một phong cách đầy tính triết học thì: các sự vật khách quan được phản ánh trong mỗi cá nhân đã bị cải biến tùy theo “lăng kính chủ quan” của mỗi con người. Cái lăng kính chủ quan ấy (tâm lý, tình cảm, nguyện vọng, kinh nghiệm, tri thức, nhu cầu, v.v…) đã làm cái nhìn của chúng ta về sự vật hiện tượng trở nên rất riêng, phong phú và độc đáo.

Tôi biết có rất nhiều bạn yêu động vật, như những chú chó chẳng hạn. Cách mà các bạn ấy ngắm những chú chó thật là đáng ngưỡng mộ (ngập tràn yêu thương). Và tôi cũng biết có những bạn mang trong mình kỉ niệm thương đau (chúng ta đang bàn về những chú chó “đáng yêu” và các bạn chắc là thừa hiểu tôi muốn nói đến những kỉ niệm gì). Thật tiếc là trong số ấy lại có mặt tôi… Tiếp tục đọc

Số vô tỷ

Xin chia sẻ với các bạn một sự việc từng xảy ra với tôi: Trong khi đọc một tài liệu về Toán phổ thông tôi gặp một bài toán như sau:

Kiểm tra xem số sau đây có phải số hữu tỉ hay không: 0,12345678910111213… Nói chung là phần thập phân của nó là các số tự nhiên liên tiếp lần lượt xếp hàng. Phải thú nhận rằng (với đôi chút xấu hổ) là ngay lúc ấy tôi cảm thấy hơi bối rối và chẳng biết trả lời thế nào. Dù rằng sau đó tôi cũng đã tìm ra câu trả lời nhưng điều làm tôi quan tâm là tại sao vào thời điểm đó tôi lại cảm thấy băn khoăn như vậy? Tiếp tục đọc

Brachistochrone – Đường đoản thời của John Bernoulli

Rất có thể tiêu đề bài viết này đã làm bạn cảm thấy có đôi chút sợ hãi. Ấy vậy mà tôi dám cá rằng các bạn sắp được xem sau đây một trong những chứng minh toán học tuyệt diệu và đặc biệt nhất… Đổi lại tôi chỉ có một yêu cầu nho nhỏ sau: Các bạn hãy bớt chút thời gian đọc bài viết ” Tự nhiên là nhà Toán học” của tôi trước khi chúng ta tiếp tục… Tiếp tục đọc

Cuộc hành trình đi tìm Số Phức

Mở đầu bài viết này tôi muốn kể cho các bạn nghe một câu chuyện, về nhà Toán học Niccolo Fontana (1499-1557) sống tại công cuốc Venezia (nay là một thành phố của Italia) với biệt danh Tartaglia (kẻ nói lắp).

Tartaglia có một tuổi thơ đầy bất hạnh. Năm ông 13 tuổi quân Pháp tràn vào quê hương ông, cha ông (một người đưa thư) đã dắt ông chạy trốn vào nhà thờ cùng với mọi người trong làng. Không may họ đã bị phát hiện và cuộc thảm sát diễn ra ngày trong nhà thờ ấy: Cha ông bị giết chết, Tartaglia bị chém ngang mặt cắt đứt miệng và lưỡi…Người mẹ trong những nỗ lực cuối cùng đã tìm thấy đứa con trai và người chồng đã chết của mình. Chẳng thể có tiền lo thuốc thang điều trị cho đứa con trai, bà nhớ lại rằng những con chó khi bị thương thường hay liếm vào vết thương, và thật thần kì với cách chạy chữa đặc biệt đó mà vết thương của Tartaglia đã bình phục. Mẹ ông chỉ gom góp đủ tiền để ông được đi học trong 15 ngày và chỉ trong quãng thời gian ngắn ngủi đó Tartaglia đã tìm cách trộm được một cuốn vở đánh vần và tự học cách đọc và viết. Tartaglia với vòm miệng bị hỏng nói năng rất khó khăn và một cuộc sống nghèo khổ đã tự học thành tài và được rất nhiều người kính phục. Tiếp tục đọc

Tự nhiên là nhà Toán học

Có anh chàng thiện xạ nổi tiếng với khả năng bách phát bách trúng của mình. Một hôm anh ta đang đi dạo dọc theo bờ sông thì gặp một chú bé đang bắt cá bằng nơm. Anh ta ngỏ ý muốn giúp chú bé và bởi vì anh ta có mang theo súng săn. Nhưng điều làm anh ta kinh ngạc là anh không thể bắn trúng được con cá nào…Các bạn có biết tại sao không? Tôi đoán là các bạn đã biết lý do: “ánh sáng từ con cá đến mắt anh không đi theo đường thẳng, nó bị gãy khúc!”. Nghĩa là thế này, chúng ta nhìn thấy con cá vì có ánh sáng từ con cá đi đến mắt ta. Nếu tia sáng truyền thẳng thì chỉ cần ngắm theo những tia sáng đó thì viên đạn sẽ đến được chỗ con cá. Nhưng nếu vì lý do nào đó tia sáng bị đổi hướng trước khi đến mắt ta, chúng ta sẽ bắn trượt. Tiếp tục đọc

Vì sao bạn ghét Toán?

Dạo này nghe đồn trên Facebook có nhiều hội lắm. Kiểu như: “Hội phát cuồng…” hay “hội chém gió…”. Tôi cũng mon men lên tìm kiếm cái hội nào đó có liên quan đến Toán học xem sao. Kết quả không mấy bất ngờ, cái hội duy nhất tôi tìm được là: “Hội những người không thích học Toán” 😦 Nói không bất ngờ là vì tôi là …thầy dạy Toán, nên hình như biết học sinh bây giờ ghét Toán như thế nào. Điều an ủi duy nhất là mấy thành viên sau khi tham gia cái hội ấy đều có cùng suy nghĩ: “làm quái j với cái hội này đây nhể?”.

Sau khi điên cuồng tìm kiếm thì cuối cùng cũng tìm được một cái hội thích Toán. Hội này chỉ có một thành viên với cái tên rất thành thật: “ Hội những người thích Toán mà Toán lại không thích họ”… Tiếp tục đọc

Chỉ là quy ước?

Trên một diễn đàn nọ, một thầy giáo dạy Vật lý bảo với mọi người rằng thầy ấy có thể chứng minh được  \huge 10^{0}=1 . Cách chứng minh như sau:

\huge 10^{0}=10^{1-1}=\frac{10^{1}}{10^{1}}=\frac{10}{10}=1

Như vậy có nghĩa là việc   \huge 10^{0}=1  là hoàn toàn chứng minh được mà không cần phải quy ước như trong sách giáo khoa lớp 7. Rất nhiều người ủng hộ, họ bảo rằng chứng minh đơn giản mà dễ hiểu quá. “Mà đã là chứng minh được thì còn phải quy ước làm gì?”. Một vài người phản đối: “Đã là quy ước thì chứng minh làm gì?” 🙂 Vậy là sao, có phải quy ước hay không? Mà thật ra mấy cái quy ước trong toán học có ý nghĩa gì, có thể quy ước khác đi được hay không?… Tiếp tục đọc

Sách

Tôi nhớ lại những ngày còn đi học phổ thông. Cứ mỗi lần gặp chuyện buồn, những lúc thất vọng về bản thân, về cuộc sống. Tôi lại xách cái xe đạp cũ chạy xuống phố… Lần nào cũng vậy, tôi chạy qua con phố nhỏ nơi có cô bạn gái tôi mến. Chạy qua thật nhanh thậm chí chẳng dám nhìn xem bạn ấy có ở nhà không. Kế đó là đến những nhà sách thân thuộc mà tôi đã ghé không biết bao nhiêu lần. Hồi đó tôi sợ cái cảm giác thất vọng về mình lắm. Tôi hay vạch ra những kế hoạch tốt đẹp cho mình, tự hứa sẽ cố gắng để sống thật tốt, học thật giỏi và làm được điều gì có ý nghĩa. Không biết bao nhiêu lần tự hứa rồi lại thất hứa, rồi lại thất vọng… Mỗi lúc như vậy tôi đều đến nhà sách tìm đọc một điều gì đó có thể làm cho tâm trạng mình phấn chấn, vững tin hơn. Sách tôi hay đọc nhất là sách danh nhân các nhà Toán học và Vật lý. Hồi đó cũng có đọc sách dạy làm người nữa, vậy mà thấy mình chẳng thay đổi được gì cho đến tận bây giờ. Dù vậy nhưng ngày ấy tôi thích sách lắm! Thấy sách nào hay cũng muốn mua, sách nào mới mua về cũng làm động lực cho tôi cố gắng hơn ( dù chẳng được bao lâu). Bài viết này, thật đơn giản tôi chỉ muốn giới thiệu cho các bạn vài trong số những cuốn sách mà tôi thích. Tiếp tục đọc

Chứng minh định lý Pytago bằng vật lý

Trong những bài trước tôi nhớ đã có lần giới thiệu với các bạn rằng có cả ngàn cách khác nhau để chứng minh định lý Pytago. Tuy nhiên có nằm mơ chắc các bạn (và cả tôi trước đây) cũng không thể nghĩ rằng lại có cả cách chứng minh định lý này bằng thực nghiệm vật lý. Ồ! Tôi không giỏi làm thực nghiệm đâu, nếu các bạn lo lắng thì thông báo sau có thể làm mọi người yên lòng hơn để đọc tiếp: “ Tất cả thực nghiệm chỉ cần các bạn tưởng tượng trong đầu thôi, và chỉ với một ít kiến thức vật lý đơn giản là bạn có thể thưởng thức một trong những chứng minh toán học kì lạ nhất.” Thế nào, thú vị chứ ? Chứng minh sau tôi lấy từ quyển “ The Mathematical Mechanic” của Mark Levi (Chú ý! không phải ông này là Marc Levy, tác giả mấy cuốn tiểu thuyết ăn khách đâu nhé)… Tiếp tục đọc

Tô pô

Những người bạn chuyên toán của tôi ngày xưa, dù chằng mấy ai theo nghề toán nhưng niềm ham thích về những vấn đề toán học thú vị có lẽ chưa hề nguội lạnh. Đã có nhiều người hỏi tôi về Topo. Những lúc đó tôi thường trích dẫn câu nói yêu thích của mình: “ Khi tầm nhìn rộng mở, tất cả chỉ là một”. Và nói một cách không khoa trương thì có lẽ thế giới toán học là nơi tầm nhìn rộng mở nhất.

Nếu bạn đi xe ôtô còn tôi đi xe đạp, bạn nói chúng ta khác nhau. Tôi sẽ nói ta đều đi xe cả. Bạn bảo chiếc bánh xe ô tô khác bánh xe đạp, tôi nói rằng chúng chỉ là cái bánh xe. Nếu bạn bảo cái bánh xe khác cái vòng tay và cũng chẳng giống cái biển báo giao thông…. Tôi sẽ nói rằng tôi thấy chúng giống nhau, tôi chỉ thấy hình tròn thôi. Mà toán học thì lại chỉ có nghiên cứu cái hình tròn! Tiếp tục đọc

Gậy một đầu.

Tôi là một người rất hâm mộ côn pháp của phái Thiếu Lâm, nói cho dễ hiểu thì đó là “võ gậy”. Một cây gậy (côn) thì luôn có 2 đầu và bạn có thể tấn công đối phương bằng cả 2 đầu này. Nếu chẳng may, kẻ địch dùng kiếm chém mất một khúc nhỏ thì cây côn mới bạn cầm trên tay vẫn sẽ có 2 đầu chỉ có điều là nó sẽ ngắn hơn một chút. Vậy lẽ nào nó lại chỉ có một đầu? Điều này ắt hẳn chỉ xuất hiện trong thế giới toán học… Tiếp tục đọc

Sao học sinh phải học nhiều Toán thế?

Câu hỏi “nghề làm Toán” là nghề gì thì tôi đã đề cập đến trong bài : ” Thợ săn Rồng”. Còn câu hỏi thứ 2 có khi lại khó trả lời hơn:

Học sinh, những người không chọn nghề làm Toán sao phải học nhiều toán thế ? Chẳng phải chỉ cần học tính toán là đủ dùng cho cuộc sống rồi sao ?” Câu hỏi này cũng gợi lên một nghịch lý đáng buồn trong trường phổ thông : Trong các môn học, môn Toán là môn được cho là quan trọng nhất. Bạn chỉ giỏi Toán. Ok, mọi người sẽ nghĩ bạn thông minh và học giỏi. Còn nếu bạn bảo với mọi người là bạn học rất giỏi môn… Địa lý chẳng hạn ( và tất nhiên là dốt toán!) thì người ta nghĩ bạn … ( chắc tự hiểu!).

Vấn đề là khi hỏi các học sinh về ích lợi của tất cả các môn học, hầu như môn nào các em cũng nói được ích lợi của chúng. Chẳng hạn như môn văn “bồi bổ tâm hồn”, môn vật lý ” tìm hiểu tự nhiên” … Tất nhiên là trừ môn toán! Chẳng ai biết tại sao phải học mấy cái thứ như mấy cái hình học, vecto, giới hạn, đạo hàm, tích phân… Tiếp tục đọc

Thợ săn Rồng.

Trong vai trò là một thầy giáo dạy Toán. Hai câu hỏi mà những học sinh lanh lợi thường hỏi tôi là: ” Thầy ơi, nghề làm Toán là nghề gì vậy ạ ?”. Và câu hỏi thứ hai là: ” Tụi em không chọn nghề làm Toán vậy tại sao phải học nhiều thứ về Toán như vậy, em nghĩ chỉ cần học tính toán là đủ dùng trong cuộc sống và công việc rồi…”

Để trả lời cho câu hỏi thứ nhất, xin trích ra ở đây mẩu chuyện về “Bác tôm” ( René Thom, nhà toán học Pháp, giải thưởng Fields) lấy trong bài viết cho tạp chí tia sáng của Gs Hà Huy Khoái: Tiếp tục đọc

Thỏ có bao giờ đuổi kịp Rùa không?

Trong một câu chuyện ngụ ngôn nổi tiếng: Thỏ và Rùa chạy thi, bởi vì Thỏ quá tự tin vào khả năng của mình nên chủ quan ham chơi và cuối cùng để Rùa giành thắng lợi. Chắc nhiều bạn cũng biết đến một cuộc thi chạy khác giữa chúng trong Toán học (khác lần trước lần này Thỏ chạy rất nghiêm túc và cố gắng!) : Thỏ và rùa chạy thi, thỏ chấp rùa trước một đoạn… Zenon nói rằng Thỏ không bao giờ có thể đuổi kịp rùa bởi lẽ: Cứ khi nó đuổi đến nơi thì rùa đã đi thêm được một đoạn mới. Khi nó đuổi hết đoạn này thì rùa đã đi thêm được một đoạn nữa, cứ thế… Vì quá trình này xảy ra vô hạn lần nên thỏ chẳng bao giờ đuổi kịp rùa ! Tiếp tục đọc

Ở đây có ai cùng ngày sinh nhật không?

Thật ra nếu tính đầy đủ, tức là tính cả ngày sinh “độc”: 29 tháng 2 (4 năm mới tổ chức sinh nhật được 1 lần)  thì có tất cả là 366 ngày sinh nhật. Nếu các bạn có một nhóm 367 người thì chắc chắn rằng sẽ có 2 người cùng ngày sinh nhật (biến cố chắc chắn: xác suất sẽ là 1). Điều tôi vừa nói chẳng có gì lạ nhưng không biết các bạn có tin không: Chỉ cần nhóm của bạn có 23 người thôi là đã có hơn 50% cơ hội để có 2 bạn cùng  ngày sinh rồi! ( tức là xác suất để có 2 người cùng ngày sinh trong nhóm 23 người là lớn hơn 1/2). Mới nghe thì thấy cái tỉ lệ này chẳng hợp lý tí nào nhưng đó lại là sự thật. Những phân tích sau đây có thể chỉ dành cho các bạn đã học phép đếm ở chương trình lớp 11 Tiếp tục đọc

Phải chăng chỉ là may rủi?

Hãy cùng tưởng tượng: bạn đang tham dự một trò chơi trên truyền hình ( chẳng hạn trò chơi ô cửa). Trong trò chơi này người dẫn chương trình có 3 chiếc hộp (ta tạm gọi 3 hộp này là A, B và C) và yêu cầu bạn chọn một cái. Tất nhiên là phần thưởng chỉ nằm ở một trong 3 cái hộp này, sau một chút chần chừ bạn bèn chọn ngẫu nhiên lấy một cái, chẳng hạn bạn chọn hộp A. Sau khi bạn chọn xong, người dẫn chương trình không vội vàng công bố ngay kết quả… Để chương trình trở nên hấp dẫn hơn, anh ta bất ngờ mở ra hộp B và cho bạn biết rằng trong đó không có phần thưởng. Anh ta nói với bạn rằng, bạn được quyền chọn lại hộp C nếu bạn muốn và bạn có quyết định chọn lại không hay vẫn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình ( là chọn hộp A)? Tiếp tục đọc

Định lý Pythago

Có lẽ đây là định lý nổi tiếng nhất trong hình học sơ cấp. Tuy nhiên nổi tiếng là nhiều người biết đến chứ không phải là tất cả nên cũng xin nhắc lại ở đây nội dung định lý này. Định lý Pythago phát biểu rằng: “ Bình phương cạnh huyền c của một tam giác vuông bằng tổng các bình phương của 2 cạnh góc vuông a và b còn lại”. Bên cạnh đó chúng ta nhớ ra rằng, bình phương một cạnh nào đó lại chính là diện tích hình vuông cạnh đó thế nên định lý Pythago còn có thể được mô tả một cách hình học như sau: Tiếp tục đọc

Gauss và tổng các dãy số

Có một huyền thoại kể về tài năng của một nhà toán học. ( cũng thật khó để biết trong đó có bao nhiều phần sự thật) Đó là câu chuyện kể về nhà toán học Carl Friedrich Gauss khi là một cậu học sinh 10 tuổi. Một lần, giáo viên toán của Gauss muốn nghỉ ngơi một chút. Vì thế ông ta đã đưa ra một bài toán mà ông ta nghĩ rằng có thể làm cho các học sinh trong lớp phải bận rộn khoảng 1h hoặc hơn nữa. Bài toán đó là tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss gần như là ngay lập tức viết ra đáp án chính xác (5050) và ngồi dưới với cánh tay giơ cao bảng ghi đáp án. Chúng ta cũng chẳng cần bàn thêm về sự ngạc nhiên của ông Thầy ( đơn giản vì ông ấy cũng chỉ nghĩ đến cách ngồi cộng 100 số ấy lại). Và đây là cách mà cậu bé đã làm: Tiếp tục đọc

Những mẩu chuyện vui…

Chuyện 1:

Có một nhà thông thái cả đời đọc sách nghiên cứu, biết sâu hiểu rộng. Chính vì thế mà lão rất ư là xem thường mấy bạn ít học :). Một ngày nọ nhân một chuyến về thăm quê, trên đường nhà thông thái gặp một bác nông dân. Dừng lại bắt chuyện, nhà thông thái hỏi: ” Bác đi cày thế này có được học hành chút gì không?”

“Dạ tui quê mùa, có được học gì đâu.” Nhà thông thái hỏi rất ngạc nhiên: ” Ồ, thế bác không biết gì về Toán học, Vật lý, Triết học, Địa lý, Lịch sử… hết à. Ôi phí cả một đời người. Tiếp tục đọc